सत्य सारणी

सत्य तालिका क्या है:

ट्रुथ टेबल या ट्रुथ टेबल एक गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग तार्किक तर्क के क्षेत्र में व्यापक रूप से किया जाता है। इसका उद्देश्य एक यौगिक प्रस्ताव (दो या अधिक सरल प्रस्तावों द्वारा गठित तर्क) की तार्किक वैधता को सत्यापित करना है।

यौगिक प्रस्तावों के उदाहरण:

• जॉन लंबा है और मारिया छोटा है।
• पेड्रो लंबा है या जोआना गोरा है।
• यदि पेड्रो लंबा है, तो जोआना लाल है।

ऊपर दिए गए प्रत्येक प्रस्ताव को दो सरल प्रस्तावों द्वारा बनाया गया है जो संयोजकों द्वारा बोल्ड में शामिल किए गए हैं। प्रत्येक सरल प्रस्ताव या तो सही या गलत हो सकता है और यह सीधे यौगिक प्रस्ताव के तार्किक मूल्य को प्रभावित करेगा। यदि हम " जॉन लंबा है और मैरी कम है " वाक्यांश को अपनाते हैं , तो इस कथन का संभावित मूल्यांकन होगा:

• यदि जॉन लंबा है और मैरी कम है, तो वाक्यांश "जॉन लंबा है और मैरी कम है" TRUE है।
• यदि जॉन लंबा है और मैरी कम नहीं है, तो वाक्यांश "जॉन लंबा है और मैरी कम है" FALSE है।
• यदि जॉन लंबा नहीं है और मैरी कम है, तो वाक्यांश "जॉन लंबा है और मैरी कम है" FALSE है।
• यदि जॉन लंबा नहीं है और मैरी कम नहीं है, तो वाक्यांश "जॉन लंबा है और मैरी कम है" FALSE है।

सत्य तालिका इस तर्क को समान रूप से व्यवस्थित करती है (नीचे Conjunction विषय देखें) अधिक सीधे। इसके अलावा, वाक्य में प्रस्ताव की संख्या की परवाह किए बिना सत्य तालिका नियम लागू किए जा सकते हैं।

यह कैसे काम करता है?

सबसे पहले, प्रश्न के प्रस्तावों को तर्क में प्रयुक्त प्रतीकों में बदल दें। सार्वभौमिक रूप से प्रयुक्त प्रतीक सूची है:

इसके बाद, एक यौगिक प्रस्ताव के मूल्यांकन की सभी संभावनाओं के साथ एक तालिका रखी गई है, प्रतीकों द्वारा पुष्टि की गई है। यह स्पष्ट करने योग्य है कि जिन मामलों में दो से अधिक प्रस्ताव हैं, उन्हें आर, एस, और इसी तरह के पत्रों द्वारा प्रतीकित किया जा सकता है।

अंत में, दिखाया गया संयोजी द्वारा परिभाषित तार्किक ऑपरेशन लागू किया जाता है। उपरोक्त सूची के अनुसार, ये ऑपरेशन हो सकते हैं: इनकार, संयुग्मन, अव्यवस्था, सशर्त और द्विसंयोजक।

इनकार

इनकार का प्रतीक ~ है। इनकार का तार्किक संचालन सबसे सरल है और अक्सर सत्य तालिका के उपयोग को फैलाता है। उसी उदाहरण का अनुसरण करते हुए, यदि जॉन लंबा (p) कहता है कि जॉन लंबा नहीं है (~ p) FALSE है, और इसके विपरीत।

संयोजन के रूप

संयोजन का प्रतीक ^ है । उदाहरण "जॉन लंबा है और मैरी कम है" का प्रतीक "p ^ q" होगा और सत्य सारणी होगी:

संयुग्मन संचय का एक विचार सुझाता है, इसलिए यदि साधारण प्रस्तावों में से एक गलत है, तो यौगिक प्रस्ताव का सत्य होना असंभव है।

निष्कर्ष : संयोजी समग्र प्रस्ताव (संयोजी ई युक्त) केवल तभी सत्य होंगे जब उनके सभी तत्व सत्य होंगे।

उदाहरण:

• पाउलो, रेनाटो और ट्यूलियो दयालु हैं और कैरोलीन मजाकिया हैं। - यदि पाउलो, रेनाटो या ट्यूलियो दयालु नहीं हैं या कैरोलिना मजाकिया नहीं है, तो प्रस्ताव FALSE होगा। यह आवश्यक है कि सभी जानकारी सही हों, ताकि यौगिक प्रस्ताव TRUE हो।

अलगाव

विघटन का प्रतीक v है । ऊपर दिए गए उदाहरण से संयोजक का आदान-प्रदान करना या हमारे पास "जॉन लंबा है या मैरी कम है"। इस स्थिति में, वाक्य "p v q" का प्रतीक होगा और सत्य सारणी होगी:

अव्यवस्था का अर्थ है कि प्रत्यावर्तन का एक विचार है, इसलिए यह पर्याप्त है कि सरल प्रस्तावों में से एक सच है ताकि यौगिक भी हो।

निष्कर्ष : विघटनकारी समग्र प्रस्ताव (संयोजी या युक्त) केवल तभी झूठे होंगे जब उनके सभी तत्व झूठे हों।

उदाहरण:

• मेरी माँ, मेरे पिता या मेरे चाचा मुझे एक उपहार देंगे। - कथन TRUE होने के लिए, यह पर्याप्त है कि माता, पिता या चाचा के बीच में से कोई एक ही उपस्थित हो। प्रस्ताव केवल FALSE होगा यदि उनमें से कोई भी इसे नहीं देता है।

सशर्त

सशर्त का प्रतीक है → यह स्वयं संयोजकों द्वारा व्यक्त किया जाता है और फिर, जो एक कारण संबंध में सरल प्रस्तावों को आपस में जोड़ता है। उदाहरण "यदि पाउलो कारियोका है, तो वह ब्राजीलियाई है" पी → क्यू "बन जाता है और सत्य तालिका होगी:

सशर्त में एक पूर्ववर्ती और एक परिणामी प्रस्ताव होता है , जो संयोजी द्वारा अलग किया जाता है। सशर्तियों के विश्लेषण में, उन मामलों का मूल्यांकन करना आवश्यक है जिनमें प्रस्ताव संभव हो सकता है, जो कि पूर्ववर्ती और परिणाम के बीच निहितार्थ के संबंध पर विचार करता है।

निष्कर्ष : सशर्त यौगिक प्रस्ताव (जिसमें केवल और केवल संयोजक हैं) केवल तभी गलत होगा जब पहला प्रस्ताव सत्य होगा और दूसरा प्रस्ताव गलत होगा।

उदाहरण:

• अगर पाउलो कैरिओका है, तो वह ब्राजील है। - इस प्रस्ताव को TRUE मानने के लिए, उन मामलों का मूल्यांकन करना आवश्यक है जिनमें यह POSSIBLE है। उपरोक्त सत्य तालिका के अनुसार, हमारे पास:

1. पाउलो ब्राजीलियाई है / पाउलो ब्राजीलियाई = पोसबीएलएलई है
2. पाउलो कैरीओका है / पाउलो ब्राजीलियाई नहीं है = IMPOSSIBLE
3. पाउलो कैरिओका से नहीं है / पाउलो ब्राजीलियाई = पोसबीएलएलई है
4. पाउलो कोई कैरिओका नहीं है / पाउलो ब्राजीलियन = पोसबीएलएलई नहीं है

biconditional

द्विवार्षिक का प्रतीक is है । यह संयोजकों के माध्यम से पढ़ा जाता है यदि और केवल यदि, तो वे सरल प्रस्तावों को एक समतुल्य संबंध में जोड़ देते हैं। उदाहरण "जॉन खुश है और अगर केवल मारिया मुस्कुराता है।" "p" q "बन जाता है और सत्य सारणी होगी:

द्विसंयोजक अन्योन्याश्रय के विचार का सुझाव देते हैं। जैसा कि नाम ही प्रदर्शित करता है, द्विसंयोजक दो स्थितियों से बना है: एक जो पी से क्यू (पी → क्यू) तक जाता है और दूसरा विपरीत दिशा में (क्यू → पी)।

निष्कर्ष : प्रस्तावों में द्विसंयोजक ( यदि और केवल यदि संयोजक हों तो ) केवल तभी सत्य होंगे जब सभी प्रस्ताव सत्य हों, या सभी प्रस्ताव झूठे हों।

उदाहरण:

• जॉन खुश है अगर और केवल अगर मारिया मुस्कुराए। - यह है कि:

1. यदि जॉन खुश है, तो मारिया मुस्कुराती है और यदि मारिया मुस्कुराती है, तो जॉन खुश है = TRUE
2. अगर जोआओ खुश नहीं है, तो मारिया मुस्कुराती नहीं है और अगर मारिया मुस्कुराती नहीं है, तो जोआओ खुश नहीं है = TRUE
3. यदि जॉन खुश है, तो मैरी मुस्कुराती नहीं है = FALSE
4. यदि जॉन खुश नहीं है, तो मारिया मुस्कुराते हुए = FALSE

सामान्य अवलोकन

सत्य तालिका के विद्वानों के लिए प्रत्येक तार्किक संचालन के निष्कर्ष को याद रखना आम है। समस्या समाधान पर समय बचाने के लिए, हमेशा ध्यान रखें कि:

1. संयोजक प्रस्ताव: वे केवल तभी सत्य होंगे जब सभी तत्व सत्य होंगे।
2. विवादास्पद प्रस्ताव: वे केवल झूठे होंगे जब सभी तत्व झूठे होंगे।
3. सशर्त प्रस्ताव: वे केवल तभी झूठे होंगे जब पहला प्रस्ताव सत्य होगा और दूसरा गलत।
4. द्विसंयोजक प्रस्ताव: वे केवल तभी सत्य होंगे जब सभी तत्व सत्य हों, या सभी तत्व झूठे हों।